Cavalli e scacchiere

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Mettete un cavallo nell'angolo di una scacchiera infinita... (si capisce no?)
Quante caselle può raggiungere dopo n mosse?
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I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico.

lordream · Inviato: Mer Mar 14, 2007 12:08 pm Oggetto:

4 caselle
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-Uso una password per ogni cosa che ne richiede una
--Anche io... uso la tua
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Non pensare che i problemi si possano solo creare, si possono anche ricevere..
(by Al è qui)

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Giuro... non l'ho capita...
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carpao · Inviato: Mer Mar 14, 2007 3:24 pm Oggetto:

KitCarson · Inviato: Mer Mar 14, 2007 4:08 pm Oggetto:

(2n+1)^n-sommatoria di n sono le diverse caselle che potrà aver raggiunto (per quelle raggiungibili ESATTAMENTE alla mossa n la formula va un briciolo modificata dovendosi considerare le caselle di un solo colore).

Visualmente un quadrato meno un triangolo: il cavallo ad ogni mossa "perde una casella in orizzontale o in verticale rispetto alla diagonale del quadrato immaginario di lato 2n+1.

Ciao

Carson

Ipazia · Inviato: Mer Mar 14, 2007 5:41 pm Oggetto:

Mah, l'ho fatto anch'io graficamente come Kit, però mi viene una cosa diversa. Invece, Carpao, tu cos'hai fatto?!

Sia il cavallo nell'angolo la mossa "zero", e così via.
Esattamente all'n-esima mossa, con n pari, posso raggiungere
7/4 n^2 + 2n + 1 caselle
con n dispari
7/4 n^2 + 2n + 1/4 caselle
con l'eccezione di n=1 e n=2 per cui viene rispettivamente 2 e 10 caselle, perchè il "quadrato" non è completamente riempito.
Le due formulette vengono dal calcolo dell'"area" del quadrato meno quella del triangolo, come ha fatto Kit... nel caso n pari avevo
[(2n+1)^2 +1]/2 - sommatoria dei dispari tra 1 e n
mentre nel caso dispari
[(2n+1)^2 -1]/2 - sommatoria dei pari tra 1 e n.

Se come Kit considero le caselle raggiunte ENTRO l'n-esima mossa, e non esattamente all'n-esima, devo sommare alle caselle raggiungibili all'n-esima quelle raggiungibili all'(n-1)-esima (gli insiemi sono disgiunti - caselle bianche e nere - mentre tutte le caselle raggiungibili con meno di n-1 mosse sono raggiungibili anche con n mosse (o n-1, a seconda del colore delle caselle) ).
Mi viene:
7/2 n^2 + n/2 + 1 caselle...

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Ciao!

.:Ipazia:.

Ipazia · Inviato: Mer Mar 14, 2007 5:55 pm Oggetto:

In ogni caso, supponendo che volessi scrivere 2 invece di n all'esponente, la tua soluzione è diversa dalla mia solo di n caselle...
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Ciao!

.:Ipazia:.

KitCarson · Inviato: Mer Mar 14, 2007 6:15 pm Oggetto:

Grazie Ipazia, mi è scappato un n al posto di un 2 all' esponente.
Il tutto però per n maggiore di 2.
Per n minore di 3 vi sono alcune caselle non raggiungibili pur se 'entro il perimetro'.

Ciao

Carson

carpao · Inviato: Mer Mar 14, 2007 9:31 pm Oggetto:

carpao · Inviato: Mer Mar 14, 2007 9:40 pm Oggetto:

carpao · Inviato: Mer Mar 14, 2007 10:26 pm Oggetto:

ipazia
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A065450

Ipazia · Inviato: Gio Mar 15, 2007 10:02 am Oggetto:

Ma sul "tuo" sito si trova proprio tutto tutto tutto!!!
Comunque la pagina che hai segnalato corrisponde alla mia formula (quella "ESATTAMENTE all'n-esima mossa", non quella "ENTRO l'n-esima mossa").

Invece per quanto riguarda:

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Wow... confesso che dopo il 4 di ieri e dopo l'81,71,59 di carpao ho avuto qualche dubbio del tipo: "Ma che ho scritto nel post?"
Ok, ho letto sotto e ho capito che almeno qualcuno aveva capito....
Che bel giro di parole!
Comunque io mi sono complicato la vita facendolo come se fosse nell'origine e togliendo roba... lasciamo perdere, alla fine la soluzione è la stessa di Ipazia, lei ha i quadrati e i triangoli (come Kit), io gli ottagoni e devo pure "dividere" per 4... Bah! Goodbye brain!
Ah si... la casella 0 si conta e come, che vi ha fatto di male? Gioia

Comunque bravi a tutti quelli che sanno contare (meglio di me) Gioia

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Dio pensa di essere un matematico.

carpao · Inviato: Gio Mar 15, 2007 12:18 pm Oggetto:

E' un brutto periodo per me...
sono molto stanco
indaffarato
ma... non riesco a non guardare il forum...
conclusione: gli occhi (o il cervello) mi va un po' in pappa

il mio primo post era perche' avevo letto 4 al posto di n... e infatti mi sembrava una domanda stupida messa sul caso numerico.
Non so se ha giocato la somiglianza tra la n e un 4 (mi sto arrampicando sugli specchi?) o la lettura consecutiva del numero 4 nella prima risposta (che probabilmente e' andata a mischiarsi con la definizione dell'indovinello)... boh...

poi mi sono ripreso... (spero)

riguardo al considerare o meno la cella iniziale (e poi via via le successive ...vedi anche la mia figura) e' perche' da "informatico" mi ero posto automaticamente il problema di ... raggiungibili con n (e non raggiungibili con m minnore di n)... cioe' numero minimo di mosse per raggiungere una casella.

concordavo gia' prima (i dubbi erano preconfronto...) che la mia e quella di ipazia erano "equivalenti" anche se davano il dato aggregato in maniera diversa

riguardo il "mio" sito ... l'ho citato per ipazia: per darle la soddisfazione che la sua interpretazione era anche pubblicata in letteratura...
tra l'altro non ho letto bene la definizione data sul sito, ma non mi sembra che abbia la formula di ipazia... forse se la sottomette puo' passare ai posteri... in genere per ogni serie mettono le formule significative collegate...
boh...

Ipazia · Inviato: Gio Mar 15, 2007 2:32 pm Oggetto:

Carpao 4o4 preoccuparti... ma mi raccoma4do tor4a presto i4 pie4a forma!!! Linguaccia

Sinceramente non riesco proprio a capire la formula data dal sito per quella successione... la successione è
1, 2, 10, 22, 37, 54, 76, 100, 129......
e la formula secondo loro è
[1+6x^2+4x^3-4x^4-2x^5+2x^6]/[(1+x)*(1-x)^3]
che dà (per x naturale a partire da 3)
50.69, 121.6, 241.2, 420.9, 672.7......
Come devo interpretare la formula? Riuscite a spiegarmi?

Piuttosto, ho trovato una cosa che mi sembra interessante: sempre su quel sito, c'è scritto che la successione del numero di caselle raggiungibili dal cavallo in n mosse, per n>3 corrisponde alla successione delle somme parziali della successione dei numeri congrui a 1 oppure a 3 modulo 7. Mi piacerebbe riuscire a trovare un'argomentazione "tricky" (termine caro a lpcr!) di cosa c'entra il cavallo sulla scacchiera con le congruenze modulo 7. Vi viene in mente qualcosa?
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Ciao!

.:Ipazia:.